Uma fábrica produz duas variedades de ração, A e B. Os dois tipos devem ser processados em duas máquinas diferentes, M1 e M2. M1 possui uma disponibilidade mensal de processamento de 60h e M2 de 40h. A ração A precisa de 2 horas de processamento em ambas as máquinas. Já a ração B precisa de 3 horas na máquina M1 e somente 1 hora em M2. O lucro líquido/kg vendido de A é de R$ 60,00 e o de B, R$ 70,00. Quais devem ser as quantidades produzidas das rações A e B? (Assuma que quantidades fracionárias são permitidas, e toda a produção é vendida).
Queremos descobrir as quantidades (em kg) de cada produto, de forma que, obviamente, essas serão as
nossas variáveis. Seja então:
$x_A$ : Quantidade produzida da ração A (kg) e
$x_B$ : Quantidade produzida da ração B (kg).
Queremos descobrir as quantidades de $x_A$ e $x_B$ para que o lucro seja maximizado, ou seja, precisamos encontrar uma função que descreve o lucro a partir das variáveis $x_A$ e $x_B$. Como cada kg de $x_A$ será vendido a R$ 60,00 e cada kg de $x_B$ a R$ 70,00, temos uma função da seguinte forma:
Considere os sliders abaixo. Alterando os valores de $x_A$ e de $x_B$ podemos ver no gráfico qual será o lucro da empresa.
O problema é que não podemos fabricar o quanto quisermos dos produtos, essas quantidades serão limitadas pelo tempo disponível nas máquinas...
Cada kg de ração produzido consome um tempo nas duas máquinas M1 e M2, e as máquinas possuem um tempo máximo disponível para a produção. Dessa forma, os produtos "competem" para a utilização dos recursos M1 e M2. Existe uma restrição para o tempo da máquina 1 e uma para o tempo da máquina 2, vamos criá-las separadamente:
Cada kg produzido de $x_A$ consome 2 unidades de tempo da máquina 1. E cada kg de $x_B$ consome 3. Assim, a quantidade consumida de tempo da máquina 1, para quaisquer valores de $x_A$ e $x_B$ fica:
Como sabemos que a máquina tem uma disponibilidade de 60 horas, temos a seguinte restrição:
Também é possível verificar como o tempo da máquina é afetado pelas quantidades produzidas de $x_A$ e $x_B$:
Da mesma forma, montamos a restrição de tempo da máquina 2:
O modelo completo (função objetivo + restrições) fica da seguinte forma:
Sujeito à:
Os gráficos das restrições junto à função objetivo ficam da seguinte forma:
Se junte a um grupo de no máximo 4 alunos e encontre a quantidade que deve ser produzida das rações. O grupo que conseguir o maior lucro (L) terá um bônus na nota dado pela fórmula abaixo:
Tempo total de 10 min.